W matematyce funkcjonują przede wszystkim jak plon rozwiązań układów równań, i podobnie jak jak rodziny obiektów geometrycznych dodatkowo innych, które dają się parametryzować, na przykład bliscy k-wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni mathbb R^n. Pojawiają się one podobnie jak rozwiązania wielowymiarowych problemów wariacyjnych (bańki mydlane), różności całkowe układów dynamicznych, grup odwzorowań geometrycznych dodatkowo ich przestrzenie jednorodne i tak dalej. W fizyce grają rolę modeli czasoprzestrzennych, w mechanice są przestrzeniami fazowymi, poziomami energii i tak dalej., w ekonomii powierzchniami obojętności, w psychologii przestrzenią percepcji (np. kolorów) i tak dalej.
Definicja formalna
Przestrzeń topologiczna X nazywana jest lokalnie euklidesową, gdyby istnieje nieujemna wartość całkowita n taka, iż iks piksel w X ma otoczenie, które jest homeomorficzne spośród przestrzenią euklidesową mathbb R^n. Albowiem kłębek otwarta w mathbb{R}^n jest homeomorficzna spośród mathbb{R}^n, w definicji tej dość! erygować, aby jakikolwiek piksel przestrzeni proch otoczenie homeomorficzne spośród ustaloną kulą otwartą w mathbb{R}^n.
Rozmaitość topologiczna owo lokalnie euklidesowa przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności.Roman Duda, op. cit., s. 386-387
Definicję tę można rozszerzyć o przypadek scriptstyle{n=-1}. Wtedy jeżeli przyjąć scriptstyle{mathbb R^{-1} = varnothing}, to jedyną rozmaitością lokalnie homeomorficzną z tą przestrzenią euklidesową będzie zbiór pusty..
Rozmaitość z brzegiem
Rozmaitość topologiczna z brzegiem to przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, która dla ustalonego n w każdym swoim punkcie posiada otoczenie homeomorficzne (tzn. lokalnie homeomorficzna) z mathbb{R}^n lub półprzestrzenią euklidesową mathbb{R}^n_+, to znaczy zbior
mathbb R^n_+ := {(x_1, ldots, x_n)colon x_1 geqslant 0}.Roman Duda, op. cit., s. 392
Niech M będzie n-wymiarową rozmaitością z brzegiem. Wnętrzem M nazywa się zbiór punktów M mających otoczenia homeomorficzne z podzbiorem otwartym mathbb R^n i oznacza operatorname{int};M. Brzeg M, oznaczany partial M, to dopełnienie wnętrza M w M. Punkty brzegowe mogą być scharakteryzowane jako te, które leżą na hyperpłaszczyźnie brzegowej (x_n = 0) półpłaszczyzny mathbb R^n_+ w pewnym układzie współrzędnych.
Jeżeli M jest rozmaitością z brzegiem wymiaru n, to operatorname{int};M jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru n, a partial M jest rozmaitością (bez brzegu) wymiaru n – 1 lub zbiorem pustym.
Dalej rozmaitości o pustym brzegu będą nazywane po prostu rozmaitościami, choć mogą być dla zaznaczenia nazywane rozmaitościami bez brzegu.
Uwa
Rys historyczny
Początkowy okres badania rozmaitości jest związany z analizą parametryzacji wielowymiarowej i z badaniami geometrii fizycznego Świata. Dwa sposoby zdefiniowania rozmaitości w mathbb{R}^n, przez lokalną parametryzację i przez równania, rozpatrywał GaussGauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 1827 w w przypadku powierzchni w mathbb{R}^3, a w przypadku dowolnego wymiaru Poincare. J. Pluecker badał lokalne współrzędne na rozmaitościach utworzonych z krzywych, powierzchni itp.
Proste operacje
Suma topologiczna (czyli topologiczna suma rozłączna) niepustej, przeliczalnej rodziny n-rozmaitości jest n-rozmaitością. Jeżeli wszystkie dodawane rozmaitości były bez brzegu, to suma także jest bez brzegu. Rozmaitość pusta stanowi element neutralny (zerowy) względem operacji sumy topologicznej.
Iloczyn kartezjański m-rozmaitości M^m z n-rozmaitością N^n jest m+n-rozmaitością. Zachodzi przy tym wzór (podobny do wzoru Leibniza):
partial(M^m times N^n) = (partial(M^n) times N^n) cup (M^n times partial(N^n))
W szczególności iloczyn kartezjański dwóch rozmaitości bez brzegu jest rozmaitością bez brzegu.
Rozmaitość 1-punktowa stanowi element jednostkowy (neutralny) względem operacji iloczynu kartezjańskiego.
Homeomorficzna klasa wyniku operacji sumy topologicznej lub iloczynu kartezjańskiego zależy wyłącznie od homeomorficznej klasy dwóch argumentów. Możemy więc rozpatrywać sumę topologiczną i iloczyn kartezjański jako operacje dwuargumentowe na klasach homeomorficznych przestrzeni. Wtedy rozmaitości z brzegiem tworzą półpierścień przemienny, a rozmaitości bez brzegu – podpółpierścień tego półpierścienia. Jest tak dlatego, że iloczyn kartezjański jest rozdzielny względem sumy topologicznej.
Rozmaitości 0- i 1-wymiarowe
Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, 0-wymiarową rozmaitością spójną (z brzegiem lub bez) jest przestrzeń 1-punktowa. 0-wymiarowe rozmaitości (z brzegiem lub bez) to po prostu przeliczalne, skończone lub nieskończone (ale niepuste) przestrzenie dyskretne. Rozmaitości 0-wymiarowe nigdy nie mają brzegu.
Jedyną, z dokładnością do homeomorfizmu, niezwartą 1-wymiarową rozmaitością spójną, bez brzegu, jest prosta rzeczywista mathbb{R}, a zwartą – okrąg mathbb{S}^1. Jedynymi 1-wymiarowymi rozmaitościami spójnymi z niepustym brzegiem są półprosta domknięta i odcinek domknięty (z oboma końcami). Pierwsza jest niezwarta, a druga z nich jest zwarta. Ich końce, i tylko one, są punktami brzegowymi.
Przykład
Zbiory I = [0, 1) oraz H = [0,infty) są rozmaitościami z brzegiem (w obu jest nim 0). Funkcje
fcolon I to H,; f(x) = tfrac{x}{1-x},,
gcolon H to I,; g(x) = tfrac{x}{1+x},
są ciągłe i rosnące, a stąd różnowartościowe, a przy tym wzajemnie do siebie odwrotne. Obie są zatem homeomorfizmami jednej rozmaitości na drugą. Jest to zarazem dowód równoliczności tych zbiorów. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w dowolnym punkcie, dlatego są one w rzeczywistości dyfeomorfizmami (Przekształcenia te są gładkie, t.zn. różniczkowalne w każdym punkcie nieskończenie wiele razy; co więcej – funkcje f g są analityczne).
Rozmaitości n-wymiarowe
Najprostszym przykładem rozmaitości niezwartej jest przestrzeń mathbb{R}^n. Wśród zwartych najprostsze są kula domknięta:
mathbb{B}^n := {x in mathbb{R}^n colon |x| leqslant 1}
oraz sfera:
mathbb{S}^n := {x in mathbb{R}^{n+1} colon |x| = 1}
Brzegiem kuli jest sfera, której wymiar jest zawsze o jeden mniejszy
mathbb{S}^n = partial(mathbb{B}^{n+1}).
Sfera jest rozmaitością bez brzegu.
Uwa
n-wymiarową rozmaitością (bez brzegu) jest także torus, czyli n-ta potęga kartezjańska okrę
mathbb{T}^n := (mathbb{S}^1)^n
Ogólnie, iloczyn kartezjański skończonego ciągu rozmaitości niepustych, których suma wymiarów jest n jest rozmaitością n-wymiarową.
Zachodzą klasyczne twierdzen
fcolon mathbb{B}^n rightarrow mathbb{B}^n
istnieje x in mathbb{B}^n takie, że f(x)=x.
rcolon mathbb{B}^n rightarrow mathbb{S}^{n-1}
takie, że r(x)=x dla każdego x in mathbb{S}^{n-1}. Uwaga: Ogólniej, żadna niepusta rozmaitość zwarta z brzegiem (być może pustym) nie dopuszcza retrakcji na swój brzeg.
Niech a in mathbb{R}^n, gdzie |a| ne 0, oraz n geqslant 1. Dla dowolnej liczby rzeczywistej s zdefiniuj
L_s := {x in mathbb{R}^n : abullet x = s}
gdzie operacja bullet, oznacza iloczyn skalarny. Wtedy każde L_s, jest homeomorficzne z mathbb{R}^{n-1}. Dowodzi się homeomorfizmu metodami elementarnej algebry liniowej. Tak otrzymane przestrzenie (n-1)-wymiarowe są parami rozłączne i pokrywają całe mathbb{R}^n. W szczególności , a in L_{|a|^2}.
Sfera bez punktu
Niech a in mathbb{S}^n subset mathbb{R}^{n+1}, więc ,|a| = 1. Niech ponad
L_1 := {x in mathbb{R}^{n+1} : abullet x = 1}
L_0 := {x in mathbb{R}^{n+1} : abullet x = 0}
Pokażemy, że Dowód Zacznijmy od odwzorowania ciągłego pi : mathbb{R}^{n+1}backslash L_1rightarrow L_0, danego wzor
pi(x) := frac{x – (abullet x)cdot a}{1 – abullet x}
Mianownik nie jest 0 dla , xnotin L_1. Łatwo też sprawdzić, że rzeczywiście , abulletpi(x) = 0, czyli że ,pi(x) in L_0.
Jeżeli x in mathbb{S}^nbackslash {a},
2cdot (abullet x) = 2 – (a-x)^2 < 2
skąd , abullet x < 1, więc xnotin L_1. Możemy więc rozpatrywać obcięcie
p := pi | mathbb{S}^nbackslash {a} : mathbb{S}^nbackslash {a} rightarrow L_0
Jest to tak zwany rzut stereograficzny; pokażemy że jest homeomorfizmem – homeomorfizmem odwrotnym jest funkcja q : L_0 rightarrow mathbb{S}^nbackslash {a}, dana wzor
q(y) := a + frac{2}{(y-a)^2}cdot (y-a)
(łatwo policzyć, że naprawdę (q(y))^2 = 1, czyli q(y)inmathbb{S}^n). Sprawdźmy, że p, i q, są wzajemnie odwrotnymi funkcjami. Najpierw niech , y := p(x) dla pewnego x in mathbb{S}^nbackslash {a}. Wtedy ze wzoru na p(x) := pi(x), otrzymuje
y – a = frac{x-a}{1-abullet x}
oraz
(y – a)^2 = frac{(x-a)^2}{(1-abullet x)^2} = frac{2cdot(1-abullet x)}{(1-abullet x)^2} = frac{2}{1-abullet x}
krót
(y – a)^2 = frac{2}{1-abullet x}
Zat
q(y) := a + frac{2}{(y-a)^2}cdot (y-a) = a + (x-a) = x
czyli , q(p(x)) = x, co kończy pierwszą połowę dowodu homeomorficzności rzutu stereograficznego.
Niech z kolei , x := q(y), gdzie , y in L_0 czyli , abullet y = 0. Wtedy
abullet x = 1 – frac{2}{(y-a)^2}
Policzmy licznik i mianownik ułamka p(x) := frac{x – (abullet x)cdot a}{1 – abullet x} ; najpierw liczn
x – (abullet x)cdot a =
left(a + frac{2}{(y-a)^2}cdot (y-a)right) – left(1 – frac{2}{(y-a)^2}right)cdot a =
frac{2cdot y}{(y-a)^2}
A teraz mianown
1 – abullet x = frac{2}{(y-a)^2}
Zatem , p(x) = y, czyli , p(q(y))=y, co kończy dowód tego, że rzut stereograficzny jest homeomorfizmem.
Koniec dowodu.
Uwaga Rzut stereograficzny i jego odwrotność można oznaczać bardziej specyficznie przez , p_a oraz , q_a. Na przykł
h(x, t) := q_a(tcdot p_a(f(x)))
dla x in X, oraz 0 leqslant t leqslant 1.
Koniec dowodu.
Częściowa jednorodność topologiczna Bn
Niech fcolon [0,1)to [0,infty) będzie homeomorfizmem (patrz wyżej) danym wzor
f(x)=frac{x}{1-x},; xin [0,1)
Wówczas odwzorowanie Fcolon operatorname{int}, mathbb{B}^n to mathbb{R}^n, dane wzorem
F(x)=left{begin{array}{l}f(| x|)cdot frac{x}{| x|},; xneq 00,; x=0end{array}right.
jest również homeomorfizmem.
Homeomorfizm, odwrotny do F: Gcolon mathbb{R}^nto operatorname{int},mathbb{B}^n można opisać przy pomocy wzo
G(x)=left{begin{array}{l}g(| x|)cdot frac{x}{| x|},; xneq 00,; x=0end{array}right.,
gdzie g jest homeomorfizmem odwrotnym do f (patrz wyżej).
Następujące twierdzenie pokazuje częściową jednorodność topologiczną mathbb{B}^n:
h(x)=left{begin{array}{l}x,; xin partial(mathbb{B}^n)G(F(x) + F(b) – F(a)),; xin operatorname{int}, mathbb{B}^nend{array}right.
Koniec dowodu.
Uwa
Powyższa konstrukcja daje więcej, gdyż określa działanie (topologiczne) addytywnej grupy topologicznej mathbb{R}^n na przestrzeń mathbb{B}^n:
Hcolonmathbb{B}^n times mathbb{R}^n rightarrow mathbb{B}^n,
które jest tożsamością na partial(mathbb{B}^n) oraz działa jednobieżnie (1-tranzytywnie) we wnętrzu operatorname{int}, mathbb{B}^n. H dane jest wzor
H(x, v)) := G(F(x) + v) ,; xinmathbb{R}^n,, v inmathbb{R}^n.
Wtedy H(x,0) = x, oraz
begin{array}{lcl}H((H(x, v), w) & = & G(F(H(x, v)) + w)
& = & G(F(G(F(x) + v)) + w) & = & G((F(x) + v) + w) & = & G(F(x) + (v + w)) & = & H(x, v+w)end{array},
co pokazuje, że H jest rzeczywiście grupą transformacji. Jednobieżność H we wnętrzu kuli jest oczywis
Jednorodność i spójność rozmaitości spójnych
Powyższy tytuł ma sugerować, że rozmaitości spójne są spójne w pewien szczególnie mocny sposób, a nie tak słabo, jak na przykład suma mnogościowa X dwóch domkniętych kul w przestrzeni stuwymiarowej, które mają dokładnie jeden punkt wspólny p; wtedy usunięcie tego punktu powoduje, że powstała przestrzeń Xsetminus{p} nie jest spójna.
Niech a, będzie dowolnym punktem n-wymiarowej rozmaitości spójnej ,M^n. Niech X, będzie zbiorem wszystkich punktów x, dla których istnieje zbiór otwarty ,G, homeomorficzny z mathbb{R}^n, który zawiera oba punkty a, i , x Pokażemy poniżej, że ,X=M^n.
Jest oczywistym, że zbiór X, jest otwarty. Pozostało dowieść, że jest także domknię
Niech c, należy do domknięcia zbioru ,X.
Istnieje homeomorfizm t, przestrzeni mathbb{R}^n na pewne otoczenie punktu c, w rozmaitości ,M^n, spełniający warunki
- t(0)=c,
- anotin t(mathbb{R}^n).
Niech B będzie obrazem B=t(mathbb{B}^n). Istnieje punkt b, należący do wnętrza zbioru B (a więc do obrazu wnętrza t(mathbb{B}^n)), który należy do X (jako, że c należy do domknięcia X). Częściowa jednorodność kuli (patrz wyżej) mówi, że istnieje homeomorfizm hcolon Bto B taki, że
- h(b)=c,
- h(x)=x, dla każdego xin t(partial(mathbb{B}^n))
(Oczywiście t(partial(mathbb{B}^n)) jest brzegiem topologicznym zbioru B). Zatem odwzorowanie Hcolon M^nto M^n dane wzora
- ,H(x)=h(x) dla xin B,
- ,H(x)=x dla xin M^n setminus t(operatorname{int} mathbb{B}^n)
jest homeomorfizmem.
Ponieważ a, nie należy do ,B, więc ,H(a)=a. Zatem H(B), zawiera, zarówno punkt , a, jak i punkt , c=H(b). Pokazaliśmy więc, że c, należy do X,; czyli udowodniliśmy domkniętość zbioru ,X. Ponieważ nasza rozmaitość jest spójna, to ,X=M^n.
Wynikają stąd natychmiast następujące twierdzen
- Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór otwarty, homeomorficzny z mathbb{R}^n, zawierający te dwa punkty;
- Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest topologicznie jednorodna, tzn. dla dowolnej, uporządkowanej pary jej dwóch punktów istnieje homeomorfizm tej rozmaitości na siebie, który pierwszy punkt przeprowadza na drugi;
- Każda rozmaitość spójna (bez brzegu) jest łukowo spójna (to wynika też z ogólnego twierdzenia Hahna-Mazurkiewicza, i to dla wszystkich spójnych rozmaitości, także tych z brzegiem).
Z pierwszego twierdzenia powyżej wynika natychmiast jego wzmocnieniona wers
- Dla dowolnych dwóch punktów n-rozmaitości spójnej (bez brzegu) istnieje w niej zbiór homeomorficzny z mathbb{B}^n, zawierający te dwa punkty w swoim wnętrzu.
Ta wersja pozwala bezpośrednio tłumaczyć wszelakie twierdzenia o krotnej, częściowej topologicznej jednorodności mathbb{B}^n na twierdzenia o odpowiedniej krotnej jednorodności dowolnej spójnej n-rozmaitości.
Suma spójna dwóch n-rozmaitości
Sumę spójną dwóch n-rozmaitości otrzymuje się przez wycięcie z każdej z nich wnętrza pewnej kuli domkniętej, po czym skleja się tak otrzymane podprzestrzenie wzdłuż brzegu wyciętych kul (wzdłuż sfery (n-1)-wymiarowej).
Nieco formalni
M^n # N^n.
Okazuje się, że z dokładnością do homeomorfizmu, wynik (suma spójna) nie zależy od wyboru funkcji f i g powyżej. Nie zmieni się też, gdy dane rozmaitości zastąpimy przez homeomorficzne. Otrzymaliśmy więc trzecią, po sumie topologicznej i iloczynie kartezjańskim, operację dwuargumentową na rozmaitościach i ich klasach homeomorficznych – ściślej mówiąc – suma łączna jest ciągiem operacji, z których każda działa wyłącznie w swoim wymiarze n.
Elementem neutralnym sumy spójnej n-rozmaitości jest sfera mathbb{S}^n:
M^n # , mathbb{S}^n = M^n.
Ponadto, suma spójna jest przemienna i łączna.
Twierdzen
Bordyzm
Dwie zwarte rozmaitości różniczkowe M,N nazywamy rozmaitościami bordycznymi, jeśli istnieje rozmaitość z brzegiem W, której brzeg jest dyfeomorficzny z topologiczną sumą rozłączną Mcoprod N. Bordyzm jest relacją równoważności, a jej klasy abstrakcji nazywane są klasami bordyzmu.
W zbiorze klas bordyzmu można zdefiniować działania, odpowiednio, dodawania i mnożenia tak, że będzie on pierścieniem – pierścień ten nazywamy pierścieniem bordyzmu rozmaitości.
trusttelecom 